Aller au contenu
🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc
Accueil › Terminale Spé › Fonction exponentielle
I Analyse · Chapitre 07 / 17

Fonction exponentielle

Compléments, équations, croissance comparée.

8 min de lecture
6 sections, 5 exemples
40 exercices · 4 problèmes

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

En Terminale, l'exponentielle se dérive sous forme composée — exp(u) a pour dérivée u′ × exp(u) — et se manipule dans les équations et inéquations via sa stricte croissance : e^a = e^b équivaut à a = b. Les croissances comparées sont au programme : eˣ/xⁿ tend vers +∞ en +∞, et xⁿ × e^(−x) tend vers 0 : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.

1 I. Rappels et compléments sur la fonction exponentielle

Définition et propriété fondamentale

2 II. Étude de la fonction exponentielle

Dérivée et variations

Démonstration — ex>0e^x > 0 pour tout réel xx
Soit xx un réel. En écrivant x=x2+x2x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} et en appliquant la relation fonctionnelle :

ex=ex2×ex2=(ex2)2⩾0e^x = e^{\frac{x}{2}} \times e^{\frac{x}{2}} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 \geqslant 0

L'exponentielle est donc positive ou nulle. De plus elle ne s'annule jamais : si l'on avait ex0=0e^{x_0} = 0, alors ex0×e−x0=e0=1e^{x_0} \times e^{-x_0} = e^{0} = 1 donnerait 0=10 = 1, ce qui est absurde.

Un carré non nul étant strictement positif :

ex>0pour tout reˊel x□\boxed{e^x > 0 \quad \text{pour tout réel } x} \qquad \square

3 III. Croissances comparées

L'exponentielle domine les puissances

Démonstration — la croissance comparée exx→+∞\dfrac{e^x}{x} \to +\infty
On part de l'inégalité de convexité et⩾t+1e^t \geqslant t + 1, valable pour tout réel tt. Appliquons-la à t=x2t = \dfrac{x}{2}, pour x>0x > 0 :

ex2⩾x2+1>x2>0e^{\frac{x}{2}} \geqslant \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{2} > 0

En élevant au carré ces quantités positives :

ex=(ex2)2>x24e^{x} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 > \frac{x^2}{4}

En divisant par x>0x > 0 :

exx>x4\frac{e^x}{x} > \frac{x}{4}

Or x4→+∞\dfrac{x}{4} \to +\infty quand x→+∞x \to +\infty. Par comparaison :

lim⁡x→+∞exx=+∞□\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty} \qquad \square

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de xx.

4 IV. Équations et inéquations avec l'exponentielle

Résolution

5 V. Fonctions du type x↦eax+bx \mapsto e^{ax+b}

Dérivée et étude

6 VI. Tangente et inégalités

Applications de la convexité

Ce chapitre est tombé au bac

11 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 2 2025 Nouvelle-Calédonie · Jour 1 2025 Amérique du Sud · Jour 2 2025 Amérique du Sud · Jour 1 2025 Asie · Septembre 2025 Polynésie · Septembre 2025 Centres étrangers · Jour 2 2025 Asie · Jour 2 2025 Asie · Jour 1 2025 Amérique du Nord · J2 secours 2025 Amérique du Nord · Jour 1

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés à connaître de la fonction exponentielle ?
L'exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R}, strictement croissante, et égale à sa propre dérivée : (ex)′=ex(e^x)' = e^x. Elle transforme les sommes en produits (ea+b=eaebe^{a+b} = e^a e^b) et vérifie e0=1e^0 = 1. Ses limites sont 00 en −∞-\infty et +∞+\infty en +∞+\infty.
Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?
On isole l'exponentielle, puis on compose par le logarithme : ex=ke^x = k équivaut à x=ln⁡kx = \ln k, à condition que k>0k > 0 (une exponentielle n'est jamais négative ni nulle). Si l'équation est du second degré en exe^x, on pose X=exX = e^x avec la contrainte X>0X > 0.
Pourquoi l'exponentielle est-elle toujours strictement positive ?
Parce que ex=(ex/2)2e^x = \left(e^{x/2}\right)^2 est un carré, donc positif ou nul — et il ne peut pas être nul, sinon le produit ex×e−x=e0=1e^x \times e^{-x} = e^0 = 1 serait nul. C'est pourquoi une équation comme ex=−3e^x = -3 n'a aucune solution.