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IV Probabilités & dénombrement · Chapitre 17 / 17

Sommes de variables aléatoires

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, concentration, loi des grands nombres.

12 min de lecture
7 sections, 8 exemples
50 exercices · 7 problèmes

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L'essentiel en 30 secondes

L'espérance est linéaire : E(X + Y) = E(X) + E(Y), et pour des variables indépendantes, les variances s'ajoutent aussi. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev borne la probabilité qu'une variable s'écarte de son espérance. La loi des grands nombres en découle : la moyenne d'un grand échantillon se concentre autour de l'espérance — c'est le fondement des sondages et de la statistique.

1 I. Somme de deux variables aléatoires

Définition

Linéarité de l'espérance

2 II. Variables aléatoires indépendantes

Notion d'indépendance

Variance d'une somme de variables indépendantes

3 III. Application à la loi binomiale

Décomposition de la loi binomiale

Démonstration (au programme)
Chaque XiX_i suit B(p)\mathcal{B}(p), donc E(Xi)=pE(X_i) = p et V(Xi)=p(1−p)V(X_i) = p(1-p).

Par linéarité de l'espérance :
E(X)=E(X1)+⋯+E(Xn)=npE(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np

Comme les XiX_i sont indépendantes, par additivité de la variance :
V(X)=V(X1)+⋯+V(Xn)=np(1−p)V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = np(1-p)

4 IV. Échantillon d'une variable aléatoire

Somme et moyenne d'un échantillon

Démonstration
Somme : Par linéarité de l'espérance : E(Sn)=E(X1)+⋯+E(Xn)=nμE(S_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = n\mu.

Par indépendance : V(Sn)=V(X1)+⋯+V(Xn)=nVV(S_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = nV.

Moyenne : Mn=1nSnM_n = \frac{1}{n} S_n, donc :
E(Mn)=1nE(Sn)=nμn=μE(M_n) = \frac{1}{n} E(S_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu.

V(Mn)=V(1nSn)=1n2V(Sn)=nVn2=VnV(M_n) = V\left(\frac{1}{n} S_n\right) = \frac{1}{n^2} V(S_n) = \frac{nV}{n^2} = \frac{V}{n}.

5 V. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé et interprétation

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un outil fondamental qui relie la variance d'une variable aléatoire à la probabilité qu'elle s'écarte de son espérance. Elle montre que l'écart-type σ\sigma est l'unité naturelle pour mesurer la dispersion.

6 VI. Inégalité de concentration

Concentration de la moyenne

L'inégalité de concentration est l'application de BT à la moyenne d'un échantillon. Elle quantifie à quel point la moyenne se concentre autour de l'espérance quand la taille de l'échantillon grandit.
Démonstration
On applique l'inégalité de BT à la variable MnM_n :
P(∣Mn−E(Mn)∣⩾ε)⩽V(Mn)ε2P(|M_n - E(M_n)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(M_n)}{\varepsilon^2}

Or E(Mn)=μE(M_n) = \mu et V(Mn)=VnV(M_n) = \frac{V}{n} (résultats de la section IV).

Donc :
P(∣Mn−μ∣⩾ε)⩽V/nε2=Vnε2P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V/n}{\varepsilon^2} = \frac{V}{n\varepsilon^2}

7 VII. Loi des grands nombres

Énoncé et conséquences

Démonstration
D'après l'inégalité de concentration :
0⩽P(∣Mn−μ∣⩾ε)⩽Vnε20 \leqslant P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V}{n\varepsilon^2}

Comme VV et ε\varepsilon sont des constantes positives :
lim⁡n→+∞Vnε2=0\lim_{n \to +\infty} \frac{V}{n\varepsilon^2} = 0

Par le théorème des gendarmes (pour les suites) :
lim⁡n→+∞P(∣Mn−μ∣⩾ε)=0\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geqslant \varepsilon) = 0
Test d'hypothèse
H₀ : p = p₀
Calculer I_n sous p₀
Observer f_n
f_n ∈ I_n ?
Oui
Ne pas rejeter H₀
Non
Rejeter H₀
au seuil choisi

Ce chapitre est tombé au bac

14 sujets officiels de bac comportent un exercice sur ce chapitre — chaque corrigé est détaillé question par question.

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Questions fréquentes

Comment calculer l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires ?
L'espérance est toujours additive : E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y) = E(X) + E(Y), sans aucune hypothèse. La variance ne l'est que si les variables sont INDÉPENDANTES : on a alors V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X+Y) = V(X) + V(Y). C'est la distinction centrale du chapitre.
Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?
Elle affirme que la moyenne de nn variables aléatoires indépendantes et de même loi se rapproche de l'espérance quand nn grandit. C'est ce qui justifie qu'on estime une probabilité par une fréquence observée sur un grand échantillon.
À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
Elle majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance : P(∣X−E(X)∣⩾δ)⩽V(X)δ2P\big(|X - E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}. Elle vaut pour n'importe quelle loi, ce qui la rend très générale — mais aussi souvent peu précise.