L'essentiel en 30 secondes
Le signe de la dérivée commande le sens de variation : si f′ > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ < 0, elle est décroissante. On étudie ainsi extremums, inégalités et optimisation. La parité décrit les symétries d'une courbe et le signe de f − g permet de comparer deux courbes.
1 I. Du signe de la dérivée aux variations
Au chapitre précédent, le nombre dérivé a été interprété comme la pente de la tangente au point d'abscisse . Une pente positive suggère une fonction qui monte, une pente négative une fonction qui descend. Le théorème suivant, admis en Première, transforme cette intuition en outil de calcul : le signe de donne le sens de variation de .
| Intervalle | |||
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| Signe de | |||
| Variations de |
Avec et : croît jusqu'à , décroît de à , puis croît de nouveau.
2 II. Extremums locaux
3 III. Plan d'étude d'une fonction
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| Signe de | |||
| Variations de |
4 IV. Optimisation
De nombreux problèmes concrets — rendre une aire maximale, un coût minimal, une surface de matériau minimale — se ramènent à la recherche de l'extremum d'une fonction d'une variable. La dérivation fournit une méthode systématique.
5 V. Parité et position relative de courbes
Questions fréquentes
Comment dresser un tableau de variations ?
On calcule , on cherche les valeurs qui l'annulent, puis on étudie son signe sur chaque intervalle. On reporte ce signe dans le tableau et on en déduit les flèches de variation, en indiquant les images aux bornes et aux extremums.
Comment déterminer un extremum local ?
Un extremum local se situe en un point où la dérivée s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE. Si passe du positif au négatif, c'est un maximum ; du négatif au positif, un minimum. S'annuler sans changer de signe ne donne pas d'extremum, comme pour en .
Comment lire graphiquement le signe de la dérivée ?
Là où la courbe monte, la dérivée est positive ; là où elle descend, la dérivée est négative. Aux sommets et aux creux, la tangente est horizontale et la dérivée s'annule.