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IV Probabilités & statistiques · Chapitre 10 / 10

Variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance, variance, écart type.

8 min de lecture
4 sections, 3 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue ; sa loi regroupe les probabilités des événements {X = a}. L'espérance décrit la moyenne théorique et la variance la dispersion. Des simulations Python permettent de comparer cette théorie aux moyennes observées sur des échantillons.

1 I. Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire attribue un nombre au résultat d'une expérience aléatoire : le gain à un jeu, le nombre de succès, la valeur d'un dé. Elle permet de résumer une expérience par des indicateurs numériques : une valeur moyenne attendue (l'espérance) et une dispersion (l'écart-type).

2 II. Espérance

Démonstration
La variable aX+baX + b prend les valeurs axi+bax_i + b avec les mêmes probabilités pip_i. Donc :

E(aX+b)=∑i(axi+b)pi=a∑ixipi+b∑ipi=a E(X)+b×1=a E(X)+bE(aX + b) = \sum_i (ax_i + b)p_i = a\sum_i x_i p_i + b\sum_i p_i = a\,E(X) + b \times 1 = a\,E(X) + b

(en utilisant ∑pi=1\sum p_i = 1). □\square

3 III. Variance et écart-type

Démonstration
En développant le carré dans la définition et par linéarité :

V(X)=∑ipi (xi−E(X))2=∑ipi(xi2−2E(X)xi+E(X)2)V(X) = \sum_i p_i\,(x_i - E(X))^2 = \sum_i p_i\big(x_i^2 - 2E(X)x_i + E(X)^2\big)

=∑ixi2pi−2E(X)∑ixipi+E(X)2∑ipi=E(X2)−2E(X)⋅E(X)+E(X)2=E(X2)−E(X)2= \sum_i x_i^2 p_i - 2E(X)\sum_i x_i p_i + E(X)^2\sum_i p_i = E(X^2) - 2E(X)\cdot E(X) + E(X)^2 = E(X^2) - E(X)^2

□\square

4 IV. Jeux, simulations et moyennes d’échantillons

Questions fréquentes

Qu'est-ce que l'espérance d'une variable aléatoire ?
C'est la moyenne des valeurs prises, pondérées par leurs probabilités : E(X)=∑xi P(X=xi)E(X) = \sum x_i \, P(X = x_i). Elle s'interprète comme le gain moyen par partie si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.
Comment calculer la variance et l'écart-type ?
La variance vaut V(X)=E(X2)−(E(X))2V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, et l'écart-type est sa racine carrée : σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}. La variance mesure la dispersion autour de l'espérance ; l'écart-type a l'avantage d'être dans la même unité que XX.
Qu'est-ce qu'un jeu équitable ?
Un jeu est équitable si l'espérance de gain est nulle : en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd rien. Une espérance négative signifie que le jeu est défavorable au joueur.