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II Analyse · Chapitre 06 / 10

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, radians, cosinus et sinus.

8 min de lecture
5 sections, 4 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), chaque réel x s'enroule en un point : cos x et sin x en sont les coordonnées. Le radian relie angle et longueur d'arc : 180° = π rad. On place les réels, on lit les valeurs remarquables et on les justifie grâce aux symétries et aux triangles rectangles.

1 I. Le cercle trigonométrique et le radian

La trigonométrie du collège mesurait les angles en degrés, dans les triangles rectangles. En Première, on change de point de vue : on mesure les angles avec une unité mieux adaptée au calcul, le radian, et l'on définit cosinus et sinus pour tout nombre réel à l'aide d'un cercle.
Degrés0°0°30°30°45°45°60°60°90°90°180°180°360°360°
Radians00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi2π2\pi

2 II. Cosinus et sinus d'un réel

Démonstration de cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1
Le point M(cos⁡x ;sin⁡x)M(\cos x\,;\sin x) appartient au cercle de centre OO et de rayon 11. Donc OM=1OM = 1, soit OM2=1OM^2 = 1. Or OM2=cos⁡2x+sin⁡2xOM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x (distance au carré depuis l'origine). D'où cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1. □\square
xx00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
cos⁡x\cos x1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
sin⁡x\sin x0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11

3 III. Périodicité et parité

4 IV. Angles associés

Les symétries du cercle trigonométrique relient les valeurs de cos⁡\cos et sin⁡\sin en des réels associés à xx. On les retrouve à partir des positions des points images.
Réelcos⁡\cossin⁡\sinSymétrie de MM
−x-xcos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin xaxe des abscisses
π−x\pi - x−cos⁡x-\cos xsin⁡x\sin xaxe des ordonnées
π+x\pi + x−cos⁡x-\cos x−sin⁡x-\sin xcentre OO
π2−x\dfrac{\pi}{2} - xsin⁡x\sin xcos⁡x\cos xpremière bissectrice

5 V. Enroulement et justification des valeurs remarquables

Valeurs en π/4
Le point associé à π/4\pi/4 est sur la droite y=xy=x et sur le cercle unité. Ses coordonnées positives (a,a)(a,a) vérifient a2+a2=1a^2+a^2=1, donc a=2/2a=\sqrt2/2. Ainsi cos⁡(π/4)=sin⁡(π/4)=2/2\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\sqrt2/2.
Valeurs en π/3
Dans un triangle équilatéral de côté 11, la hauteur partage la base en deux segments de longueur 1/21/2. Le triangle rectangle obtenu donne cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3)=1/2, puis Pythagore donne sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3)=\sqrt3/2.

Questions fréquentes

Comment utiliser le cercle trigonométrique ?
À chaque réel xx on associe un point du cercle de rayon 11 ; son abscisse est cos⁡x\cos x et son ordonnée sin⁡x\sin x. Le cercle rend immédiates les valeurs remarquables et les relations de symétrie, sans rien apprendre par cœur.
Quelles sont les valeurs remarquables de cosinus et sinus ?
Il faut connaître cos⁡0=1\cos 0 = 1, cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} et cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 0. Les sinus se lisent dans l'ordre inverse, puisque sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right).
Qu'est-ce que le radian ?
C'est l'unité d'angle naturelle : un angle d'un radian intercepte sur le cercle de rayon 11 un arc de longueur 11. La conversion se fait par proportionnalité : 180°180° correspond à π\pi radians.