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I Algèbre · Chapitre 01 / 10

Le second degré

Polynôme du second degré, discriminant, racines, parabole.

21 min de lecture
9 sections, 13 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Un trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) se représente par une parabole. Son discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0. Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles ; le sommet de la parabole a pour abscisse −b/(2a).

1 I. Introduction et motivation

Les équations du second degré comptent parmi les plus anciens problèmes des mathématiques : les Babyloniens, il y a près de 4 000 ans, savaient déjà en résoudre certaines pour des questions d'arpentage. Au IXᵉ siècle, le mathématicien perse al-Khwārizmī en donne une classification systématique et des méthodes de résolution géométriques : son traité est à l'origine du mot algèbre. La formule générale que nous allons établir, avec le discriminant, est l'aboutissement de cette longue histoire.
Voici un problème typique. Un jardinier dispose de 20 mètres de grillage pour clôturer un potager rectangulaire et souhaite que l'aire du potager soit égale à 21 m221 \text{ m}^2. Quelles dimensions choisir ? En notant xx une largeur (en mètres), la longueur vaut 10−x10 - x et la condition s'écrit :

x(10−x)=21,c’est-aˋ-direx2−10x+21=0x(10 - x) = 21, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x^2 - 10x + 21 = 0

Cette équation n'est ni du premier degré, ni immédiatement factorisable avec les outils de Seconde. Ce chapitre construit une théorie complète permettant de résoudre toutes les équations de ce type, d'étudier les fonctions associées et de déterminer leur signe. (Nous verrons que les solutions du problème sont x=3x = 3 et x=7x = 7, qui donnent le même rectangle 3×73 \times 7.)
Fil directeur du chapitre : tout repose sur une transformation d'écriture, la forme canonique, dont découlent successivement les variations de la fonction, la résolution de l'équation, la factorisation et le signe du trinôme.

2 II. Prérequis

Les notions suivantes, au programme de Seconde, sont supposées connues :
• Les trois identités remarquables : (u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2, (u−v)2=u2−2uv+v2(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2, (u+v)(u−v)=u2−v2(u+v)(u-v) = u^2 - v^2.
• La règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
• Un carré de nombre réel est toujours positif ou nul ; pour k⩾0k \geqslant 0, l'équation u2=ku^2 = k a pour solutions u=ku = \sqrt{k} et u=−ku = -\sqrt{k}.
• La fonction carré x⟼x2x \longmapsto x^2 : décroissante sur ]−∞ ;0]]-\infty\,;0], croissante sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Les tableaux de signes d'un produit et d'une expression affine x⟼mx+px \longmapsto mx + p.

3 III. Fonction polynôme du second degré

1. Définition et premières observations

2. Les trois formes d'un trinôme

Un même trinôme peut s'écrire de plusieurs façons, chacune adaptée à un usage précis. C'est l'idée centrale du chapitre.

4 IV. Forme canonique

1. Existence de la forme canonique

Démonstration
Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. Comme a≠0a \neq 0, on peut factoriser par aa les deux premiers termes :

f(x)=a(x2+bax)+cf(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c

On reconnaît en x2+baxx^2 + \dfrac{b}{a}x le début du développement du carré (x+b2a)2=x2+bax+b24a2\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}. On écrit donc :

x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}

d'où, en reportant :

f(x)=a(x+b2a)2−a⋅b24a2+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4af(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

En posant α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}, on obtient bien f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta.

Enfin, en évaluant en x=αx = \alpha : f(α)=a(α−α)2+β=βf(\alpha) = a(\alpha - \alpha)^2 + \beta = \beta, ce qui prouve β=f(α)\beta = f(\alpha). □\square

5 V. Variations et représentation graphique

1. Sens de variation

La forme canonique donne immédiatement les variations : f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta s'obtient à partir du carré (x−α)2(x-\alpha)^2, qui est minimal (nul) en x=αx = \alpha.
x<αx < \alphax=αx = \alphax>αx > \alpha
Cas a>0a > 0↘ décroissanteminimum β\beta↗ croissante
Cas a<0a < 0↗ croissantemaximum β\beta↘ décroissante
Démonstration (cas a > 0, croissance sur [α ; +∞[)
Soient x1x_1 et x2x_2 deux réels tels que α⩽x1<x2\alpha \leqslant x_1 < x_2. Alors :

f(x2)−f(x1)=a(x2−α)2−a(x1−α)2=a[(x2−α)2−(x1−α)2]f(x_2) - f(x_1) = a(x_2-\alpha)^2 - a(x_1-\alpha)^2 = a\bigl[(x_2-\alpha)^2 - (x_1-\alpha)^2\bigr]

Avec l'identité u2−v2=(u−v)(u+v)u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) appliquée à u=x2−αu = x_2 - \alpha et v=x1−αv = x_1 - \alpha :

f(x2)−f(x1)=a (x2−x1) (x2+x1−2α)f(x_2) - f(x_1) = a\,(x_2 - x_1)\,(x_2 + x_1 - 2\alpha)

Or x2−x1>0x_2 - x_1 > 0, et x1⩾αx_1 \geqslant \alpha, x2>αx_2 > \alpha donnent x1+x2−2α>0x_1 + x_2 - 2\alpha > 0. Comme a>0a > 0, le produit est strictement positif : f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1). La fonction ff est donc strictement croissante sur [α ;+∞[[\alpha\,;+\infty[. Les trois autres cas se traitent de la même façon.

Enfin, pour tout xx, (x−α)2⩾0(x-\alpha)^2 \geqslant 0 donc, si a>0a > 0, f(x)=a(x−α)2+β⩾βf(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \geqslant \beta, avec égalité si et seulement si x=αx = \alpha : le minimum vaut β\beta et il est atteint uniquement en α\alpha. □\square

2. La parabole

Les deux orientations de la parabole
a > 0 — tournée vers le haut
S(α ; β)x = α
Décroissante puis croissante : minimum β atteint en x = α
a < 0 — tournée vers le bas
S(α ; β)x = α
Croissante puis décroissante : maximum β atteint en x = α
Démonstration
f(α+h)=a(α+h−α)2+β=ah2+βf(\alpha + h) = a(\alpha + h - \alpha)^2 + \beta = ah^2 + \beta et f(α−h)=a(−h)2+β=ah2+βf(\alpha - h) = a(-h)^2 + \beta = ah^2 + \beta. Les deux valeurs sont égales. □\square

6 VI. Équation du second degré

1. Discriminant et racines

Démonstration exigible — résolution de l’équation du second degré
D'après le théorème de la forme canonique et sa démonstration, pour tout réel xx :

ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4a=a[(x+b2a)2−Δ4a2]ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]

la dernière égalité s'obtenant en factorisant par a≠0a \neq 0. Comme a≠0a \neq 0, l'équation f(x)=0f(x) = 0 équivaut à :

(x+b2a)2=Δ4a2(∗)\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} \qquad (\ast)

Le membre de gauche est un carré, donc positif ou nul ; le dénominateur 4a24a^2 est strictement positif, donc le membre de droite est du signe de Δ\Delta. Trois cas :

Cas Δ<0\Delta < 0. Le membre de droite de (∗)(\ast) est strictement négatif alors que le membre de gauche est positif ou nul : aucune solution.

Cas Δ=0\Delta = 0. L'équation (∗)(\ast) devient (x+b2a)2=0\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0, c'est-à-dire x+b2a=0x + \dfrac{b}{2a} = 0, d'unique solution x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}.

Cas Δ>0\Delta > 0. On a Δ4a2=(Δ2a)2\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2, donc (∗)(\ast) équivaut à :

x+b2a=Δ2aoux+b2a=−Δ2ax + \frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ou} \qquad x + \frac{b}{2a} = -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}

c'est-à-dire x=−b+Δ2ax = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ou x=−b−Δ2ax = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}. Ces deux réels sont distincts car Δ≠0\sqrt{\Delta} \neq 0. □\square
x₁x₂Δ > 0 : deux racines
x₀Δ = 0 : racine double
Δ < 0 : aucune racine

2. Mise en pratique

7 VII. Factorisation du trinôme

1. Théorème de factorisation

Démonstration (idée, cas Δ > 0)
En reprenant l'égalité de la démonstration du théorème de résolution puis l'identité u2−v2=(u−v)(u+v)u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) :

f(x)=a[(x+b2a)2−(Δ2a)2]=a(x+b2a−Δ2a)(x+b2a+Δ2a)=a(x−x2)(x−x1)f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right] = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1)

Le cas Δ=0\Delta = 0 s'obtient de même avec Δ=0\sqrt{\Delta} = 0. Dans le cas Δ<0\Delta < 0, une factorisation a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2) fournirait la racine réelle x1x_1, ce qui contredirait le théorème de résolution. □\square

2. Déterminer un trinôme à partir de ses racines

Le programme demande explicitement de savoir déterminer les fonctions polynômes du second degré s'annulant en deux nombres réels distincts.

8 VIII. Signe du trinôme

C'est le résultat le plus utilisé du chapitre : il permet de résoudre toutes les inéquations du second degré.
xxx<x1x < x_1x1x_1x1<x<x2x_1 < x < x_2x2x_2x>x2x > x_2
x−x1x - x_1−-00++++
x−x2x - x_2−-−-00++
a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2)signe de aa00signe de −a-a00signe de aa
Démonstration
Cas Δ<0\Delta < 0. D'après la démonstration du théorème de résolution, f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]. Comme Δ<0\Delta < 0, le crochet est la somme d'un carré (positif ou nul) et du réel strictement positif −Δ4a2-\dfrac{\Delta}{4a^2} : il est strictement positif. Donc f(x)f(x) est du signe de aa, pour tout xx.

Cas Δ=0\Delta = 0. Ici f(x)=a(x+b2a)2=a(x−x0)2f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = a(x - x_0)^2. Le carré est strictement positif pour x≠x0x \neq x_0 et nul en x0x_0 : d'où le résultat.

Cas Δ>0\Delta > 0. D'après le théorème de factorisation, f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) avec x1<x2x_1 < x_2. On dresse le tableau de signes du produit (ci-dessus) : les facteurs x−x1x - x_1 et x−x2x - x_2 sont de même signe à l'extérieur des racines (produit positif) et de signes contraires entre elles (produit négatif). En multipliant par aa, on obtient l'énoncé. □\square

9 IX. Somme et produit des racines

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré ?
On calcule le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. S'il est strictement positif, il y a deux racines x=−b±Δ2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} ; s'il est nul, une racine double x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a} ; s'il est négatif, aucune solution réelle.
Comment étudier le signe d'un trinôme du second degré ?
Le trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. S'il n'y a pas de racine (Δ<0\Delta < 0), il garde le signe de aa sur tout R\mathbb{R}.
Comment trouver le sommet d'une parabole ?
Le sommet a pour abscisse x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a}, et son ordonnée s'obtient en calculant l'image de cette valeur. La parabole atteint son minimum en ce point si a>0a > 0, son maximum si a<0a < 0.