Aller au contenu
🇫🇷 France 🇲🇦 Maroc
Accueil › Première Spé › Fonction exponentielle
II Analyse · Chapitre 05 / 10

Fonction exponentielle

Relation fonctionnelle, équations et inéquations, variations.

8 min de lecture
6 sections, 7 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

Conforme au programme officiel 2026-2027 · notre méthode de vérification

L'essentiel en 30 secondes

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits : exp(a + b) = exp(a) × exp(b), et on note exp(x) = eˣ. Strictement positive et strictement croissante sur ℝ, elle modélise les évolutions à taux de croissance constant.

1 I. Définition de la fonction exponentielle

Beaucoup de phénomènes (populations, radioactivité, intérêts composés) évoluent à un rythme proportionnel à leur valeur actuelle : plus la grandeur est grande, plus elle varie vite. Traduit avec les dérivées, cela donne une fonction égale à sa propre dérivée. C'est la propriété qui définit l'exponentielle.

2 II. Relation fonctionnelle et règles de calcul

Démonstration
Soit xx un réel. En écrivant x=x2+x2x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} et en appliquant la relation fonctionnelle :

ex=ex2+x2=ex2×ex2=(ex2)2⩾0e^x = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} \times e^{\frac{x}{2}} = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2 \geqslant 0

De plus ex≠0e^x \neq 0 : sinon on aurait ex×e−x=e0=1e^x \times e^{-x} = e^0 = 1 avec un facteur nul, ce qui est impossible. Un carré non nul étant strictement positif, ex>0e^x > 0. □\square
Démonstration — e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}
D'après la relation fonctionnelle et e0=1e^0 = 1 :

ea×e−a=ea+(−a)=e0=1e^a \times e^{-a} = e^{a + (-a)} = e^0 = 1

Comme ea≠0e^a \neq 0, on peut diviser : e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}. □\square

3 III. Dérivée et variations

4 IV. Équations et inéquations

5 V. Modéliser avec l'exponentielle

L'exponentielle décrit les évolutions à taux continu. Une fonction du type t↦A ektt \mapsto A\,e^{kt} modélise une croissance exponentielle si k>0k > 0, une décroissance si k<0k < 0.

6 VI. Courbes et construction numérique

Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?
L'exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur R\mathbb{R}, et elle est égale à sa propre dérivée. Elle transforme les sommes en produits : ea+b=ea×ebe^{a+b} = e^a \times e^b, et vérifie e0=1e^0 = 1.
Comment résoudre une équation avec exp ?
On utilise le fait que l'exponentielle est strictement croissante, donc injective : ea=ebe^a = e^b équivaut à a=ba = b. Attention, une équation comme ex=−2e^x = -2 n'a aucune solution, puisque l'exponentielle est toujours strictement positive.
À quoi sert l'exponentielle en pratique ?
Elle modélise tous les phénomènes à croissance ou décroissance proportionnelle à la quantité présente : intérêts composés, croissance d'une population, désintégration radioactive, refroidissement d'un corps.