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II Analyse · Chapitre 03 / 10

Dérivation

Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles.

8 min de lecture
5 sections, 6 exemples
50 exercices · 4 problèmes · 2 devoirs surveillés

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L'essentiel en 30 secondes

Le nombre dérivé f′(a) est la valeur dont se rapproche le taux d'accroissement autour de a : il mesure la pente de la tangente. Cette tangente donne aussi l'approximation linéaire f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h. Les dérivées s'interprètent notamment comme vitesse instantanée ou coût marginal.

1 I. Nombre dérivé

Dériver, c'est mesurer la façon dont une fonction varie localement, autour d'un point. L'outil de base est le taux de variation, qui compare la variation des images à la variation de la variable.
Démonstration — nombre dérivé de x2x^2
Soit f(x)=x2f(x) = x^2 et aa un réel. Pour h≠0h \neq 0 :

f(a+h)−f(a)h=(a+h)2−a2h=a2+2ah+h2−a2h=2ah+h2h=2a+h\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h

Quand hh devient proche de 00, 2a+h2a + h se rapproche de 2a2a. Donc ff est dérivable en aa et f′(a)=2af'(a) = 2a. □\square

2 II. Tangente à une courbe

3 III. Fonction dérivée et dérivées usuelles

f(x)f(x)f′(x)f'(x)sur
kk (constante)00R\mathbb{R}
xx11R\mathbb{R}
xnx^n (n∈Zn\in\mathbb Z, sur son domaine)n xn−1n\,x^{n-1}R\mathbb{R}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}R∗\mathbb{R}^*
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}]0 ;+∞[]0\,;+\infty[
Démonstration — dérivée de 1x\dfrac{1}{x}
Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} et a≠0a \neq 0. Pour h≠0h \neq 0 (et a+h≠0a + h \neq 0) :

f(a+h)−f(a)h=1a+h−1ah=a−(a+h)a(a+h)h=−hh a(a+h)=−1a(a+h)\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{\frac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h\,a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)}

Quand hh se rapproche de 00, a+ha + h se rapproche de aa, donc le taux se rapproche de −1a2-\dfrac{1}{a^2}. Ainsi f′(a)=−1a2f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}. □\square

4 IV. Opérations sur les dérivées

FonctionDérivéeCondition
k uk\,uk u′k\,u'
u+vu + vu′+v′u' + v'
u vu\,vu′v+u v′u'v + u\,v'
1v\dfrac{1}{v}−v′v2-\dfrac{v'}{v^2}v≠0v \neq 0
uv\dfrac{u}{v}u′v−u v′v2\dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}v≠0v \neq 0

5 V. Approximation linéaire et dérivabilité

Pourquoi la racine carrée n’est pas dérivable en 0
La fonction f(x)=xf(x)=\sqrt{x} est définie sur [0;+∞[[0;+\infty[. Pour h>0h>0,

f(0+h)−f(0)h=hh=1h.\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt h}{h}=\frac1{\sqrt h}.

Lorsque hh tend vers 00 par valeurs positives, ce quotient tend vers +∞+\infty. Il n'admet donc pas de limite finie : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 00.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé ?
C'est la limite du taux d'accroissement f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} quand hh tend vers 00. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse aa.
Comment dériver un produit et un quotient ?
Pour un produit, (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Pour un quotient, (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} — attention à l'ordre au numérateur, l'inverser change le signe du résultat.
À quoi sert la dérivée ?
Elle donne le sens de variation : la fonction croît là où f′>0f' > 0 et décroît là où f′<0f' < 0. Elle permet aussi de trouver les extremums (là où f′f' s'annule en changeant de signe) et d'écrire l'équation d'une tangente.